史密斯控制器 - Smith Predictor

原论文：《Smith Predictor Control and Internal Model Control - A Tutorial》

《Smith Predictor Control and Internal Model Control - A Tutorial》

Abstract （摘要）

本文旨在提供一种名为史密斯预估控制的时间延迟补偿方案指南。为了从新的理论概念理解史密斯预估控制，本文讨论了内部模型控制（IMIC）方案。还讨论了相关的主题，例如扰动抑制、H2最优性、稳定鲁棒性和饱和问题。

Keywords（关键词）

时滞系统，史密斯预测控制，内部模型控制

1. Introduction （引言）

时间延迟一直是控制系统闭环控制中需要克服的常见现象。近年来，控制应用的不断增加使得系统化地解决时间延迟问题变得更加重要。基于此观察，我们回顾了控制时间延迟系统的最著名方案之一。这种独特的方案是由O.J.M. Smith大约在50年前提出的，并且由于其实用性至今仍备受关注。从目前的观点来看，只要涉及时滞系统，内部模型控制（IMC）与Smith预测控制则密切相关。在分别介绍了两种控制方案的基本公式后，我们讨论了它们之间的等效性。基于等效性识别，我们讨论了相关主题。本文主要研究单输入单输出（SISO）系统，并针对MIMO系统中特有的问题讨论了多输入多输出（MIMO）系统。

2.Smith Predictor Control （史密斯预测控制）

Smith预测器控制是一种反馈控制方案，它包含一个如图1所示的副回路。​G表示一个稳定的、严格真有理函数，它描述了被控对象的无延迟部分。​L表示一个正常数、代表时间延迟。​C和​L分别是通过建模过程获得的​G和​L的标称版本。​C_y表示一个有理函数，它描述了称为主控制器的补偿器。次级回路的作用是消除实际的延迟输出，并将预测输出反馈给主控制器。这使得在设计主控制器时可以假设控制回路中没有时间延迟。PID控制器可以与经典的整定技术一起成功应用。

当​G = \tilde{G}且​L = \tilde{L}时，输出​y依赖于参考输入​r和扰动项​d，如下：

由于分母函数​1+GC_S是一个有理函数，因此闭环极点是有限个数。需要注意的是，对扰动的响应直接取决于​G的极点，而​G是不可控的，这个问题会在之后进行讨论。

图2是Smith预测控制方案的另一个等效图，它可能更便于实际应用。

3. Internal Model Control（内部模型控制）

内部模型控制（IMC）是一种将工厂模型纳入控制的方案，如图3所示，​G,L,\tilde{G}和​\tilde{L}与第二节中提到的参数相同。​C_{IMC}表示一个传递函数，它作为设计参数从稳定的有理函数中适当地选择。假设实际被控对象的动态行为与其模型完全一致，即满足​\tilde{G}_e^{-\tilde{L}s} = G_e^{Ls}，那么此时系统输出​y与输入​r之间将具有一种简单明确的关系，如下：

可以看出，只要使用稳定的参数​C_{IMC}来控制稳定的系统，内不稳定性就能始终得到保证。

内部模型控制​IMC的设计过程：

假设条件为​G = \tilde{G}，​L = \tilde{L}，且​G为最小相移系统，此时​IMC设计参数的一个简单选择是：

其中，​F(s)是一个满足​F(0) = 1的有理函数，称之为​IMC滤波器，它的作用是保证所选择的​C_{IMC}是一个严格正则的传递函数。

一个典型且简单的​IMC滤波器​F(s)的选择如下：

其中，​\lambda是一个适当选择的正实数，​n是一个适当选择的正整数。

由此得到的输入-输出关系表达式为：

需要特别注意的是，当滤波器​F被选取为​1时（即​F(s) = 1），除去纯时延外可以实现完美的跟踪性能。

4. Equivalence（等价性）

将图1和图3的方框图进行比较，可以发现Smith方案和IMC方案有一个共同的特点，两者都利用被控对象模型来抵消对象自身的动态特性。基于图4的等效框图，我们可以找到一个将史密斯预测控制方案与IMC方案相互转换的公式，如下：

史密斯预测控制具有一种​IMC（内部模型控制）的结构，其中​IMC控制器​C_{IMC}可通过主控制器进行参数化表示，并且这种设计方式与经典的单位反馈控制结构的设计方法类似。

对于原论文中的相关问题，缠绕问题及结论部分进行省略，具体可以查看原论文。

基于史密斯预估器的时滞系统控制研究- 摘录笔记

原论文：《基于史密斯预估器的时滞系统控制研究》

背景

现代工业生产过程往往伴随着时滞缓解，时滞环节会导致系统不能准确地跟踪系统的输入量。同时，当系统一旦产生外部扰动，系统的超调量会逐渐增加，影响系统的稳定性，通常情况下，当系统的滞后时间与时间常数比值大于0.5时，该系统则可以定义为大时滞系统，随着比值逐渐增加，整个系统的相位滞后也会随之增加，系统则会因为超调严重而出现故障，有些时候，甚至危及设备及人身安全。

因此，如何有效地补偿时滞环节成为了一个重要的课题，常见的时滞系统包括积分时滞系统（IPDT），一阶时滞系统（FOPDT），二阶时滞系统（SOPDT）以及一些非最小相位时滞系统等。发电厂中有很多水泵水箱的水位，比如，凝结水补水箱的水位，可以近似为一个积分时滞（IPDT）系统模型，而众多化工实验以及电气控制系统的模型一般都可以简化为FOPDT系统，造纸业的生产过程系统，由于其温度回路的阶跃响应曲线一般呈现为​S型，对于这种动态过程具有明显的二阶特性，一般都采用SOPDT系统来进行描述。

为了解决时滞环节给系统带来的影响，Smith提出了传统的史密斯预估器，其工作原理是在系统的反馈回路中引入补偿装置，用来消除滞后因子对系统带来的影响，首先，需要对系统的动态特性进行估测，然后，通过预估补偿装置将滞后因子提前反映到系统的串联前向控制器，促使控制通道传递函数中的滞后因子与其他部分分离，从而消除滞后因子对系统的影响，在一定程度上加快系统的调节时间，使系统以最快的速度趋于稳定，消除系统的超调量，一般而言，时滞系统控制结构如下图所示。

上图中，​G(s) = G_p(s)e^{-\tau s}为系统的控制对象传递函数，​G_p(s)是​G(s)中不包含纯时滞特性部分的传递函数，​C(s)为系统的前向控制器，史密斯预估器的原理便是在控制器​C(s)两端并联一个补偿环节，用来补偿控制对象的时滞部分，这个补偿环节便是预估补偿器，预估器的传递函数一般记作​G_m(s)(1-e^{-\tau_ms})因此，史密斯预估器的结构如下图所示。

上图中，​G_p(s)为控制对象非时滞部分传递函数，​\tau为控制对象时滞因子，​G_m(s)为预估模型非时滞部分传递函数，​\tau_m为预估模型时滞因子，通常情况下，​G_p(s)\ne G_m(s)，​\tau\ne\tau_m，与此同时，​C(s)为前向控制器，​R(s)为系统的输入，​Y(s)为系统的输出，​Y_m(s)为系统的预估输出，系统的预估补偿器可以记作​D(s)，其传递函数为：

由上图可知系统的闭环传递函数为：

从而，由上式可以得到模型失配情况下闭环系统的特征方程为：

通常情况下，认为史密斯预估器中的控制对象和预估模型相互匹配，即​G_p(s) = G_m(s)，​\tau = \tau_m时：

由此可知，对时滞系统闭环传递函数进行补偿后，系统的滞后因子​e^{-\tau s}已经与其余部分相互隔离，其作用相当于如下图所示的系统等效图，该系统不会影响系统的稳定性，只是将输出滞后了一段时间。

因此，由上式可知模型匹配情况下闭环系统的特征方程为：

由此可知，系统的特征方程中并不包含时滞因子，能够有效减小系统的超调量，从而提高系统的稳定性。

理解与示例

假设需要控制系统控制一个热水管道出口的水温，系统的特性如下：

• 调节阀门输入热水流量（控制信号​u(t)）来改变出口水温。

• 由于管道长度的存在，从阀门动作到出口温度变化，存在明显的纯滞后（此处假设热水管道的纯滞后为3分钟）。

• 假设延迟前的动态模型为一阶惯性模型，数学模型可表示为：

  G(s) = \frac{2}{5s + 1}

• 纯滞后的时延为​L=3分钟。

因此，系统整体模型为：

其中，表达式中的变量​s为拉普拉斯算子，​e^{-Ls}为延迟项。

• 拉普拉斯变换是一种常用语控制理论和系统分析的数学工具，用于把复杂的微分方程转换为更简单的代数方程，便于分析。

• 变量​s是复频域变量，定义为：​s = \sigma + j\omega，其中​\sigma为复频域的实部，表示系统衰减特性；​\omega为复频域的虚部，表示系统的振荡特性。

• 在大多数简单的控制问题分析中，只需要将它看作一种数学记号即可，具体的，对于一阶惯性环节的拉普拉斯传递函数：

  G(s) = \frac{K}{\tau s +1}

  其中，​K表示增益，描述了输入变化一定量后输出的稳定变化量；​\tau为系统时间常数，表示系统达到稳态的快慢特性；在上述的示例中，​K=2,\tau=5所以简单建立出上述的数学模型。

因为直接使用传统控制方法时存在延迟3分钟的情况，那么就会导致：

• 控制器调整阀门后，出口温度并不会立即响应，控制器误以为动作无效而继续增加阀门开度。
• 当延迟过后，温度变化明显超出预期，导致系统超调、波动或振荡。

所以通过史密斯预估器进行时延问题的解决。

史密斯预测控制的过程如下：

step 1. 控制器做出控制动作

• 假设当前时间为​t=10分钟。
• 假设控制器此刻开始调整热水阀门开度（输入信号​u(10)），想要提高出口水温。

step 2. 模型即时输出（无延迟的预测输出）

• 内部非滞后模型​G(s)立即对控制信号做出响应（注意，这只是内部预测模型计算的输出，并非真实输出）。
• 即时预测出口温度变化：​G(s)u(10)。此时真实出口温度尚未变化。

step 3. 预测延迟后的输出（实际系统未来的输出）

• 内部预测模型继续记录3分钟前（​t=7）的控制输入信号​u(7)，并计算此刻​t=10的延迟预测输出，即​G(s)u(7)。
• 这个输出表示预测系统在当前时刻的实际状态（3分钟前控制动作的真实效果）。

step 4. 形成预测误差（控制器实际使用的反馈）

• 此时，真实系统的实际出口水温传感器测量值也已经到达控制器，记为​y_{real}(10)。
• 控制器内部则已经计算出了预测的延迟输出，记为​y_{pre}(10) = G(s)u(7)。
• 预测误差为：​e(10) = y_{real}(10) - y_{pre}(10)
• 如果预测完全准确，则​e(10)\approx 0，控制器无需大幅调整动作。
• 如果实际输出和预测存在差异，比如因为扰动等原因，控制器根据这个误差调整控制动作，进行偏差修正。

step 5. 控制器依据预测误差调整控制信号

• 控制器利用上述预测误差信号​e(t)做出适当调整动作。
• 如此循环，不断利用预测模型提前计算未来输出，并用预测误差信号来修正实时控制动作。